Clase 22 28/11/12

Aplicaciones de máximos y mínimos

Clade 21 26/11/12

Bosquejo de curvas polinomiales

Paso 1. Calcule f´(x)

            Determine los intervalos en que f´(x) es positiva o negativa; estos dan los intervalos en que f(x) crece o decrece, respectivamente. Calcule las coordenadas de los puntos que dividen estos intervalos.

Paso2. Calcule f´´(x)

            Determine los intervalos en que f´´(x) es positiva o negativa; estos dan los intervalos en que f(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Calcule las coordenadas de los puntos que separan estos intervalos.

Paso 3. Combine

            Combine la información de los pasos 1 y 2 como se muestra en la figura

Paso 4. Encuentre algunos puntos explícitos

            Por ejemplo, la intersección con el eje y se obtiene haciendo x=0, de modo que y=f(0). La intersección con el eje x se obtiene haciendo y=0. Esto da la ecuación f(x)=0 que debe resolverse para los valores de x en los puntos de intersección.

Ejemplos y ejercicios 

Clase 20 21/11/12

Prueba de la segunda derivada

Sea f(x) dos veces diferenciable en el punto crítico x=c entonces:

a)  x=c  es un máximo local de f siempre que f´(c)=0 y f´´(x)<0

b) x=c  es un mínimo local de f siempre que f´(c)=0 y f´´(x)>0

Ejercicios

Clase 19 14/11/12

Segunda derivada y la concavidad

Definición:

Si f´´(x)>0 en algún intervalo entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba, en ese intervalo.

Si f´´(x)<0 la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Punto de inflexión

Un punto de inflexión de una curva es un punto en donde la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.

Ejemplo: determine los puntos de inflexión de y=x ^1/3

Ejercicios

Clase 18 12/11/12

Teorema 1. Prueba de la primera derivada

Sea x=c un punto crítico de la función f entonces

a)  Si  f´(x)>0  para x justo antes de c y f´(x)<0 justo después de c entonces c es un máximo local de f.

b)  Si  f´(x)<0  para x justo antes de c y f´(x)>0 justo después de c entonces c es un mínimo local de f.

c) Si  f´(x) tiene el mismo signo para x justo antes de c y para x justo después de c entonces c no es un extremo local de f.

Ejercicios 

Clase 17 08/11/2012

Máximos y mínimos

Una función f(x) se dice que tiene un máximo local si f(c) >f(x) para toda x suficientemente cerca de c

Una función f(x) se dice que tiene un mínimo local en x=c si f(c)< f(x)

El término extremo se utiliza para denotar a un máximo local o bien a  un mínimo local.

Definición.

El valor x=c se denomina punto crítico para una función continua f si f(x) esta bien definida y si, o bien f´(c)=0 o f´(x) no existe en x=c.

Clase 16 31/10/2012

Primera derivada y la gráfica de la función

Una función y=f(x) se dice que es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si y crece al incrementarse la x. Esto es, si x₁ y x₂ son dos valores cualesquiera en el intervalo dado con x₂>x1, entonces f(x₂)>f(x₁)

Una función y=f(x) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo de valores de x si y decrece al incrementarse la x. Esto es, si x₁ y x₂ son dos valores cualesquiera en el intervalo dado con x₂<x1, entonces f(x₂)<f(x₁)

Teorema 1

* Si f(x) es una función creciente que es diferenciable entonces f´(x)≥0.

* Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable entonces f´(x)≤0.

Teorema 2

* Si f´(x)>0 para toda x en algún intervalo entonces f es una función creciente de x sobre tal intervalo.

*  Si f´(x)<0 para toda x en algún intervalo entonces f es una función decreciente de x sobre tal intervalo.

Ejemplo:

Encuentra los valores de x en los cuales la función f(x)=x2-2x+1 crece o decrece.

f(x)=x2-2x+1

f´(x)= 2x-2

f´(x)=0

            2x-2=0

            X=1

2x-2>0                       2x-2<00

x>1                             x<1

crece                          decrece

Ejercicios

Clase 15 24/10/2012

Derivadas de orden superior

y= x2 y´= 2x y´´= 2

y=x3 y´= 3x2 y´´=6x y´´´=6

y= ex y´= ex y´´= ex y´´´= ex y´´´´= ex

y=ln(x) dy/dx= 1/x d2y/dx2= -1/x2 d3y/dx3=2/x3 d4y/dx4= -6/x4

 Ejercicios

Clase 14 22/10/12

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Si y= e^x, entonces dy/dx= e^x

Si y= e^u(x), entonces dy/dx= e^u(x) * u´(x)

Por ejemplo:

y= e ^2x

y´= e^2x(2)

y´=2 e^2x

y= e ^3x2+5x

y´= e^3x2+5x (6x+5)

y´= (6x+5) e^3x2+5x

Si y= lnx, entonces dy/dx= 1/x

Si y= ln[u(x)], entonces dy/dx= u´(x)/u(x)

Por ejemplo:

y= ln(3x²+5)

y´= 6x/3x²+5

y=ln(7x³+5x²-2)

y´=21x²+10x/7x³+5x²-2

Ejercicios

Clase 13 17/10/12

Regla de la cadena

Si y es una función de u, y u es una función de x, entonces dy/dx=  dy/du * du/dx

Por ejemplo:

y= (x²+1)5

y= u⁵                                   u= x²+1

y´=5u⁴                                u´= 2x

y´= 5u⁴*2x

y´= 5(x²+1)⁴ 2x

y´= 10x(x²+1)⁴

y= (3x+1)⁶

u= 3x+1         u´=3

v= u⁶              v´= 6u⁵

dy/dx = 6u⁵*3

dy/dx = 18(3x+1)⁵

y= (3x2+6)^1/2

u= 3x²+6        u´=6x

y= u1/2          y´= 1/2u ^½ = 1/ 2u ^½

y´= 6x/2u^1/2

y´=3x/(3x2+6)^1/2

Si y= [u(x)]ⁿ entonces y´=n[u(x)]^n-1 * du/dx

y=(4x+3)⁷

y´=7(4x+3)⁶*4

y´=28(4x+3)⁶

Ejercicios

Clase 12 15/10/12

Derivada de los productos

U y V son dos funciones diferenciables, la derivada del producto de ambas funciones está dada por:

(u*v)´= u´v+uv´

Ejemplo:

f(x)=(3x+1)(4x-2)

u= 3x+1         u´=3

v=4x-2            v´=4

f´(x)= 24x-2

f´(x)= 12x-6+12x+4

f´(x)= 24x-2

g(x)= (2x-10)(3x²+2)

u= 2x-10        u´=2

v=3x²+2         v´=6x

g´(x)= 2(3x²+2)+6x(2x-10)

g´(x)= 6x²+4+12x²-60x

g´(x)=18x²-60x+4

Regla del cociente

Sea U y V dos funciones diferenciables se tiene que

(u/v)´= u´v-vú/ v²

Ejemplo:

f(x)= 3x-2/ 6x+3

u= 3x-2          u´= 3

v= 6x+3          v´= 6

f´(x)=3(6x+3)-6(3x+2)/ (6x+3)²

f´(x)= 18x+9-18x+12/ (6x+3)²

f´(x)= 21/ (6x+3)²

g(x)= 7x²-3x/ 4x²+6

u= C   u´=14x-3

v=4x²+6         v´=8x

g´(x)= (14x-3)( 4x²+6)-8x(4x²+6)/(4x²+6)²

g´(x)= 53x³+84x-12x²-18-56x³+24x²/ (4x²+6)²

g’(x)= 12x2+84x-18/(4x²+6)²

 f(x)=(3x-2)(2x-1)(x+1)                         m=3x-2          m’=3

                                                           n=2x-1           n´=2

u= (3x-2)(2x-1)         u´=3(2x-1)+2(3x-2)

                                   u´=6x-3+6x-4

                                   u´=12x-7

v= x+1            v´=1

f(x)=(12x-7)(x+1)+1(3x-2)(2x-1)

f´(x)=12x²+12x-7x-7+6x²-3x-4x+2

f´(x)=18x²-2x-5

Ejercicios

Clase 11 10/10/12

Análisis marginal

Costo marginal

C(x) → Costo

dc(x) / dx → Costo marginal

Problemas

Clase 10 08/10/12

Derivadas de funciones elevadas a una potencia

Teorema 1

            1 )      c→ constante

f(x)=c

f(x)=0

  2 )      Si y=x

y’=)1

     3 )      Si y= x²

y´=2x

4 )      y=x³

y=3x²

     5 )      Si y=x ⁿ

y’=nx ^n-1

Teorema 2

Sea u(x) una función diferenciable  de x y c una constante entonces

d(cu)/dx= c du/dx

Teorema 3

Sea u(x) y v(x) dos funciones diferenciables de x entonces:

d/dx (u+v)= du/dx+dv/dx

Ejercicios

Clase 9 01/10/12

Definición de derivada. Sea y=f(x) una función dada la derivada  de y con respecto a x denotada con dy/dx se define por dy/dx= lím ∆y/∆x o bien dy/dx= lím f(x+∆x)-f(x)/∆x

                                                                                              ^{∆x→0                                              ∆x→0}

A la derivada también se le denomina  coeficiente diferencial y su operación se le llama diferenciación.

Se puede denotar como:

   d/dx (y)

df/dx

d/dx

y’

f’x

Dxy

Dxf

Utilizando límites la derivada se calcula

Lím= f(x+∆x)-f(x) / ∆x – f’(x)                                                                                                 ^∆x→0

Su interpretación geométrica

Ejercicios





C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 468-471

Clase 8 26/09/12

Sea f(x) una función que está definida para todos los valores de x cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos escribimos

lím       f(x)=L o bien f(x)→ L cuando   x→c                                                                                         ^x→c

En términos de límites, la velocidad instantánea se definió como

Velocidad instantánea= lim       ∆s                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

                                              ^∆t→0      ∆t

Una función f(x) es continua en x=c si tanto f(c) como lím   f(x) existen y son iguales.                   

                                                                                        x→c                             

                                                                                                     

Teorema 1. 

Si m, b y c son tres constantes cualesquiera, entonces

lím    (mx+b)= mc+b                                                                                                                             ^x→c

Teorema 2.

(a) lím   bf(x)=b            lím  f(x)                                                                                                                                                                                                                             

      ^{x→c                                        x→c}

(b) lím [f(x)]ⁿ= [límf(x)]ⁿ está definida en x cercano a x=c

      ^{x→c                      x→c}

Teorema 3.

(a) lím [f(x)+g(x)]= lím f(x)+ lím g(x)

     ^{x→c                                x→c               x→c}                  

(b) lím [f(x)-g(x)]= lím f(x) – lím g(x)

         ^{x→c                             x→c               x→c}         

(c) lím [f(x)g(x)] = [lím f(x)][lím g(x)]

      ^{x→c                               x→c             x→c}             

(d) lím   [f(x) / g(x)]  =  [lím f(x)] /  [lím g(x)]

        ^{x→c                                          x→c                   x→c}      

                                                                                                                   

              

Ejercicios




C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 459-463