Clase 15 24/10/2012

Derivadas de orden superior

y= x2 y´= 2x y´´= 2

y=x3 y´= 3x2 y´´=6x y´´´=6

y= ex y´= ex y´´= ex y´´´= ex y´´´´= ex

y=ln(x) dy/dx= 1/x d2y/dx2= -1/x2 d3y/dx3=2/x3 d4y/dx4= -6/x4

 Ejercicios

Clase 14 22/10/12

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Si y= e^x, entonces dy/dx= e^x

Si y= e^u(x), entonces dy/dx= e^u(x) * u´(x)

Por ejemplo:

y= e ^2x

y´= e^2x(2)

y´=2 e^2x

y= e ^3x2+5x

y´= e^3x2+5x (6x+5)

y´= (6x+5) e^3x2+5x

Si y= lnx, entonces dy/dx= 1/x

Si y= ln[u(x)], entonces dy/dx= u´(x)/u(x)

Por ejemplo:

y= ln(3x²+5)

y´= 6x/3x²+5

y=ln(7x³+5x²-2)

y´=21x²+10x/7x³+5x²-2

Ejercicios

Clase 13 17/10/12

Regla de la cadena

Si y es una función de u, y u es una función de x, entonces dy/dx=  dy/du * du/dx

Por ejemplo:

y= (x²+1)5

y= u⁵                                   u= x²+1

y´=5u⁴                                u´= 2x

y´= 5u⁴*2x

y´= 5(x²+1)⁴ 2x

y´= 10x(x²+1)⁴

y= (3x+1)⁶

u= 3x+1         u´=3

v= u⁶              v´= 6u⁵

dy/dx = 6u⁵*3

dy/dx = 18(3x+1)⁵

y= (3x2+6)^1/2

u= 3x²+6        u´=6x

y= u1/2          y´= 1/2u ^½ = 1/ 2u ^½

y´= 6x/2u^1/2

y´=3x/(3x2+6)^1/2

Si y= [u(x)]ⁿ entonces y´=n[u(x)]^n-1 * du/dx

y=(4x+3)⁷

y´=7(4x+3)⁶*4

y´=28(4x+3)⁶

Ejercicios

Clase 12 15/10/12

Derivada de los productos

U y V son dos funciones diferenciables, la derivada del producto de ambas funciones está dada por:

(u*v)´= u´v+uv´

Ejemplo:

f(x)=(3x+1)(4x-2)

u= 3x+1         u´=3

v=4x-2            v´=4

f´(x)= 24x-2

f´(x)= 12x-6+12x+4

f´(x)= 24x-2

g(x)= (2x-10)(3x²+2)

u= 2x-10        u´=2

v=3x²+2         v´=6x

g´(x)= 2(3x²+2)+6x(2x-10)

g´(x)= 6x²+4+12x²-60x

g´(x)=18x²-60x+4

Regla del cociente

Sea U y V dos funciones diferenciables se tiene que

(u/v)´= u´v-vú/ v²

Ejemplo:

f(x)= 3x-2/ 6x+3

u= 3x-2          u´= 3

v= 6x+3          v´= 6

f´(x)=3(6x+3)-6(3x+2)/ (6x+3)²

f´(x)= 18x+9-18x+12/ (6x+3)²

f´(x)= 21/ (6x+3)²

g(x)= 7x²-3x/ 4x²+6

u= C   u´=14x-3

v=4x²+6         v´=8x

g´(x)= (14x-3)( 4x²+6)-8x(4x²+6)/(4x²+6)²

g´(x)= 53x³+84x-12x²-18-56x³+24x²/ (4x²+6)²

g’(x)= 12x2+84x-18/(4x²+6)²

 f(x)=(3x-2)(2x-1)(x+1)                         m=3x-2          m’=3

                                                           n=2x-1           n´=2

u= (3x-2)(2x-1)         u´=3(2x-1)+2(3x-2)

                                   u´=6x-3+6x-4

                                   u´=12x-7

v= x+1            v´=1

f(x)=(12x-7)(x+1)+1(3x-2)(2x-1)

f´(x)=12x²+12x-7x-7+6x²-3x-4x+2

f´(x)=18x²-2x-5

Ejercicios

Clase 11 10/10/12

Análisis marginal

Costo marginal

C(x) → Costo

dc(x) / dx → Costo marginal

Problemas

Clase 10 08/10/12

Derivadas de funciones elevadas a una potencia

Teorema 1

            1 )      c→ constante

f(x)=c

f(x)=0

  2 )      Si y=x

y’=)1

     3 )      Si y= x²

y´=2x

4 )      y=x³

y=3x²

     5 )      Si y=x ⁿ

y’=nx ^n-1

Teorema 2

Sea u(x) una función diferenciable  de x y c una constante entonces

d(cu)/dx= c du/dx

Teorema 3

Sea u(x) y v(x) dos funciones diferenciables de x entonces:

d/dx (u+v)= du/dx+dv/dx

Ejercicios

Clase 9 01/10/12

Definición de derivada. Sea y=f(x) una función dada la derivada  de y con respecto a x denotada con dy/dx se define por dy/dx= lím ∆y/∆x o bien dy/dx= lím f(x+∆x)-f(x)/∆x

                                                                                              ^{∆x→0                                              ∆x→0}

A la derivada también se le denomina  coeficiente diferencial y su operación se le llama diferenciación.

Se puede denotar como:

   d/dx (y)

df/dx

d/dx

y’

f’x

Dxy

Dxf

Utilizando límites la derivada se calcula

Lím= f(x+∆x)-f(x) / ∆x – f’(x)                                                                                                 ^∆x→0

Su interpretación geométrica

Ejercicios





C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 468-471