Clase 8 26/09/12

Sea f(x) una función que está definida para todos los valores de x cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos escribimos

lím       f(x)=L o bien f(x)→ L cuando   x→c                                                                                         ^x→c

En términos de límites, la velocidad instantánea se definió como

Velocidad instantánea= lim       ∆s                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

                                              ^∆t→0      ∆t

Una función f(x) es continua en x=c si tanto f(c) como lím   f(x) existen y son iguales.                   

                                                                                        x→c                             

                                                                                                     

Teorema 1. 

Si m, b y c son tres constantes cualesquiera, entonces

lím    (mx+b)= mc+b                                                                                                                             ^x→c

Teorema 2.

(a) lím   bf(x)=b            lím  f(x)                                                                                                                                                                                                                             

      ^{x→c                                        x→c}

(b) lím [f(x)]ⁿ= [límf(x)]ⁿ está definida en x cercano a x=c

      ^{x→c                      x→c}

Teorema 3.

(a) lím [f(x)+g(x)]= lím f(x)+ lím g(x)

     ^{x→c                                x→c               x→c}                  

(b) lím [f(x)-g(x)]= lím f(x) – lím g(x)

         ^{x→c                             x→c               x→c}         

(c) lím [f(x)g(x)] = [lím f(x)][lím g(x)]

      ^{x→c                               x→c             x→c}             

(d) lím   [f(x) / g(x)]  =  [lím f(x)] /  [lím g(x)]

        ^{x→c                                          x→c                   x→c}      

                                                                                                                   

              

Ejercicios




C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 459-463

Clase 7 24/09/12

El cálculo diferencial es el estudio de cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.

Sea x una variable con el primer valor x₁ y un segundo valor x₂. Entonces el cambio en el valor de x, que es x₂-x₁, se denomina el incremento de x y se denota por ∆x.

Usamos la letra griega ∆ (delta) para denominar un cambio o incremento de cualquier variable.

∆y=f(x+∆x)-f(x)

La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x + ∆x se define por la razón ∆y/∆x. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es

∆y/∆x= f(x+∆x)-f(x)/∆x

Ejemplo. Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le permite caer libremente bajo la fuerza de gravedad, la distancia s (en pies) recorrida en el tiempo t (en segundos) está dad por

s(t)=16t²

Determine la velocidad promedio del objeto durante los intervalos de tiempo siguientes:
(a)  El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos.
(b) El cuarto segundo (de t=3 a t=4 segundos).
(c)  El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y 3 ½ segundos.
(d)  El lapso de t a t + ∆t.

Solución. La velocidad promedio de cualquier móvil es igual a la distancia recorrida dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Durante el lapso de t a t +∆t, la distancia recorrida es el incremento ∆s, y así la velocidad promedio es la razón ∆s/∆t.
(a)  Aquí t=3 y t + ∆t= 5

∆s/∆t = s(t+∆t)-s(t)/∆t = s(5)-s(3)/5-3

         = 16(5²)-16(3²)/2 = 400-144/2 = 256/2 = 128

Por consiguiente, durante el lapso de t=3 a t=5, el móvil cae a una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/segundo.
(b)  Ahora, t= 3y t+∆t=4

∆s/∆t = s(t+∆t)-s(t)/∆t = s(4)-s(3)/ 4-3

         = 16(4²)-16(3²)/1 = 256-144 = 112

El móvil tiene una velocidad promedio de 112 pies/segundo durante el cuarto segundo de caída.
(c)  En este caso, t=3 y ∆t= 3 ½ - 3 = ½.

∆s/∆t= s(t+∆t) – s(t)/ ∆t= 16(3 ½ )² – 16(3)² / ½

        =196-144/ ½ = 52/ ½ = 104

Así pues, el móvil tiene una velocidad promedio de 104 pies/segundo durante el lapso de 3 a 3 ½ segundos.
(d)  En el caso general,

∆s/∆t= s(t+∆t) – s(t)/∆t = 16(t+∆t)² – 16²/ ∆t

        = 16 [t²+2t*∆t+(∆t)²] -16t²/ ∆t

        =32t*∆t+16(∆t)²/∆t = 32t+16∆t

La cual es la velocidad promedio durante el lapso de t a t + ∆t.

Ejercicios


C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp.449-455

http://www.prepa6.unam.mx/Colegios/Matematicas/papime/PAPIME/manuales/C%C3%A1lculo.pdf

Clase 6 19/09/12

Una función del tipo y= a^x (a>0, a ≠0) se denomina una función exponencial.

Cuando a>1, la función se conoce como una función exponencial creciente, mientras que si a<1, se llama una función exponencial decreciente.

El dominio de la función exponencial, f(x)=a^x es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de todos los números reales positivos. Así si a>0, a^x>0 para todos los valores de x, positivos, negativos y cero.

El número a que aparece en la función exponencial a^x se conoce como la basa. La base puede ser cualquier número real positivo excepto 1. Con frecuencia es útil usar como base un número irracional denotado por  e el cual está dado hasta cinco cifras decimales por e= 2.71828. La función exponencial correspondiente se denota por e^x y se denomina la función natural. Ya que e está entre 2  y 3 la gráfica de y= e^x está situada entre las gráficas de y=2x y y=3x.

Ejemplo (crecimiento poblacional). La población de cierta nación en desarrollo se determinó que está dad por medio de la fórmula

P= 15e ^0.02t

Donde t es el número de años medidos a partir de 1960. Determine la población en 1980 y la población proyectada en 2000, suponiendo que esta fórmula continúa cumpliéndose hasta entonces.

Solución.  En 1980, t=20 y así

P=15 e ^{(0.02) (20)} = 15e ^0.4 = 15(1.4918)= 22.4

De modo que en 1980, la población sería de 22.4 millones. Después de 20 años más, t=40 y así

P= 15e ^{(0.02) (40)} = 15e ^0.8 =15(2.2255)= 33.4

Por tanto en el 2000, la población proyectada será de 33.4 millones.

Ejercicios


C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 237-241

Clase 5 10/09/12

Interés compuesto

Representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un periodo (t) en el cual los intereses se obtienen al final de cada periodo de inversión no se retira sino que se reinvierte o añade al capital inicial.

Ejemplo: considere un capital digamos $100 que se invierte a una tasa de interés fijo, tal como 6% anual. Después de 1 año, la inversión se habrá incrementado en valor en un 6% a $106.

Si el interés es compuesto durante el segundo año, la suma total de $106 ganará interés del 6%. Así que el valor de la inversión al término del 2° año constará de $106 existentes al inicio de tal año + 6% de $106 por concepto de interés, lo que da un valor total de 106+(0.006)(106)=(1+.006)(106)=100(1.06)²=$112.36.

Valor futuro

Valor después de n años =P (1+i)ⁿ i=R/100

Ejemplo. (Inversiones) una suma de $200 se invierte en un interés compuesto anual del 5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años.

Solución. En este caso: R=5 e i=R/100=0.005 después de n años, el valor de la inversión es P (1+i)ⁿ=200(1.005)ⁿ

Cuando n=10 esto es 200(1.00)¹⁰=200(1.628895)=325.78

El valor de esta inversión por tanto es $325.78

Interés anual capitalizable

En algunos casos el interés es capitalizado más de una vez por año: semestral (2 veces por año), trimestral (4 veces por año), mensualmente (12 veces por año). En estos casos el porcentaje R de la tasa de interés anual al cual por lo regular después  se denomina la tasa nominal.

Valor después de n periodos: P= (1+i)    i=R/100

Ejemplo. (Interés anual capitalizable mensualmente) una suma de $2000 se invierte a una tasa de interés nominal de 9% anual capitalizable mensualmente. Calcule el valor de la inversión después de 3 años.

Solución. Aquí K=12, la inversión se capitaliza mensualmente y la tasa de interés en cada capitalización es R/k= 9/12=0.75%. De modo que en cada capitalización el valor se incrementa por un factor.

(1+i)=(1+R/100k)=(1+0.75/100)=1.0075

Durante 3 años, habrá n=3*12=36 de tales capitalizaciones de aquí que el valor será 2000(1.0075)³⁶=2000(1.308645)=2617.29 dólares.

Tasa de interés

i= n √M/C  -1       

Tasa efectiva

Se define como la tasa anual que proporcionaría el mismo crecimiento si se compone de una vez por año.

1+i_ef= (1+i)_k

Ejemplo. ¿Qué es mejor para un inversionista 12% compuesto mensualmente o 12.2% compuesto trimestralmente?

Solución. Calculamos la tasa efectiva de cada una de las inversiones para la primera  i=0.01 y k=12 de modo que i_ef= (1+i) ^k-1(1.01)¹²-1=0.126825

Para la segunda i=0.0305 y k=4 de modo que i_ef= (1+i)^k-1=(1.0305)⁴-1= 0.127696

La segunda tiene una mayor tasa efectiva, por lo que es la mejor de las dos.

Crecimiento  poblacional

La formula de interés compuesto se aplica a cualquier cantidad que crece de acuerdo con un porcentaje regular cada año. Por ejemplo, una población de tamaño inicial P_o que crece a un R por ciento anual tendrá, después de n años, un tamaño de P_o (1+i)ⁿ, en donde i=R/100.

Ejemplo. (Crecimiento de la población) la población del planeta al inicio de 1976 era de 4 mil millones y ha crecido a un 2% anual. ¿Cuál será la población en el año 2000, suponiendo que la tasa de interés no se modifica?

Solución. Cuando una población crece al 2% anual, esto significa que su tamaño en cualquier instante es 1.02 veces lo que fue un año antes. Así, al inicio de 1977, la población era (1.02) x4 mil millones. Más aún, al inicio de 1978, era (1.02)²x 4 mil millones. Continuamos encontrando la población en una forma similar, multiplicando por un factor de 1.02 por cada año que pasa. La población al inicio del año 2000, es decir, después de 24 años será de (1.02)²4 x 4mil millones= 1.608 x 4 mil millones = 6.43 millones.

Composición continua

Examinamos  la composición continua para el caso general cuando se invierte una suma P. el interés será compuesto k veces en un año a la tasa de interés nominal anual de R por ciento. Entonces, la tasa de interés en cada composición es R/k por ciento. En cada composición, el valor aumenta  por un factor de 1+i/k en donde i=R/100. Después d en años, durante los cuales habrán sido kN de tales composiciones le valor será P (1+i/k)^iN

Introducimos p=k/i, o k=ip. Entonces kN=PiN y el valor después de n años es

Para composición continua debemos hacer a k→∞; esto significa que p=k/i también se vuelve infinitamente grande. La cantidad dentro de los corchetes se hace cada vez más próxima a e cuando p→∞, de modo que el valor de la inversión  es Pe^iN.

Así hemos demostrado que si una cantidad P se compone de manera continua a una tasa nominal anual de R por ciento.

Ejemplo. (Inversión) una inversión de $250 se compone de manera continua a una tasa nominal de interés anual de 7.5%. ¿Cuál será el valor de la inversión después de 6 años?

Solución. Debemos utilizar la fórmula Pe^iN para el valor después de N años. P=250, N=6 e i=7.5/100=0.075.

Por tanto iN= (0.075)(6)=0.45 y el valor es Pe^iN =250e^0.45 dólares.

250e^0.45=250(1.5683)=392.08

El valor de la inversión después de 6 años es $3925.08.

Valor presente

Supongamos que la tasa de interés que podría obtenerse en tal inversión  es igual a R por ciento. Después de n años, la suma Q se habría incrementado a Q(1+i)ⁿ, donde i=R/100, haciendo esto igual a P, obtenemos la ecuación

Llamamos  a Q valor presente del ingreso futuro P. en el cálculo del valor presente es necesario hacer algunas suposiciones acerca de la tasa de interés R que se obtendría durante los n años. En tales circunstancias, R se denomina tasa de descuento y decimos que el ingreso futuro es descontado al tiempo presente.

Ejemplo. (Decisión de ventas en bienes raíces) un desarrollador de bienes raíces posee una propiedad que podría venderse de inmediato por $100,000. De manera alterna, la propiedad podría conservarse durante 5 años. Durante este tiempo, el desarrollador gastaría $100,000 en urbanizarla y entonces la vendería  por $300,000. Suponga que el costo de urbanización seria gastado en un fondo al final de 3 años y debe pedirse prestado de un banco al 12% de interés anual, si la tasa de descuento se supone que es de 10%, calcule el valor presente de esta segunda alternativa y de aquí decida cuál de éstas dos alternativas  representa la mejor estrategia  para el desarrollador.

Solución. Primero considere el dinero que debe pedirse prestado para urbanizar la propiedad. El interés debe pagarse al 12% sobre éste durante un periodo de 2 años, de modo que cuando la propiedad se vende, este préstamo ha aumentado a

$100,000(1.12)²=$125,440

La ganancia neta de la venta, después de pagar este préstamo será

$300,000-$125,440=$174,560.

Este ingreso se recibe dentro de 5 años. Descontándolo a una tasa de 10%, obtenemos el valor presente de

$174,560(1.1)^-5=$108,400.

Como el valor presente de una meta inmediata es de sólo $100,000, es un poco mejor si el desarrollador conserva la propiedad y la vende dentro de 5 años.

Ejercicios

C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 225-233.

Clase 4 03/09/12

Una función potencial, de la forma f(x)=axⁿ en donde a y n son constantes distintas de 0.

n=2. En este caso f(x)= ax² y tenemos un caso especial de las funciones cuadráticas expuestas en la sección 2. La gráfica de y es y= ax² es una parábola con vértice en el origen que se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0.

n= ½. Ahora f(x)=ax^1/2=a √x la gráfica es la mitad de una parábola que se abre hacia la derecha. Si a>0 la gráfica es la mitad superior  de la parábola, mientras que si a<0 es la mitad inferior. En consecuencia la gráfica sube o baja hacia la derecha dependiendo de si a>0 o <0 el dominio de f es el conjunto de los números reales no negativos.

n= -1. En este caso f(x)= a/x. el dominio de f(x) consta de todos los números reales excepto 0. A medida que x se acerca a 0 el denominador de f(x)=a/x se hace muy pequeño de modo que f(x) tiende a ser numéricamente muy grande. Puede llegar a ser grande positivo y grande negativo dependiendo de los signos de a y de x.

n= 3. Ahora, f(x)=ax3. La grafica de f(x) es una curva cúbica. El dominio es igual al conjunto de todos los números reales.

Círculo es el conjunto de puntos que están situados a una distancia constante (llamado radio) de un punto dado (denominado centro).

Ecuación con centro en h, k: (x-h)² + (y-k)²=r

Ejemplo: determine la ecuación del circulo con centro en (2, -3) y radio 5.

Solución: aquí h=2, k=-3 y r=5. Usando la ecuación estándar de un círculo tenemos que:

(x-2)²+(y-(-3))²=5² o bien (x-2)²+(y+3)²=25

Desarrollando los cuadrados y simplificando

X2+y2-4x+6y-12=0

La ecuación (1) cuando se desarrolla y simplifica puede escribirse como:

X²+y²-2hx-2kh+(h²+k²-r²)=0

Esta es de la forma x2+y2+Bx+Cy+D=0 con B, C y D constantes dadas por B=-2h C=-2k y D=h²-k²-r².

Dada cualquier ecuación en la formula general fácilmente podemos determinar el centro y el radio del círculo que representa debido a que:

h= B/2                        y          k= -C/2

Curva de transformación de productos.

Algunas veces sucede que una empresa puede elegir entre dos o más formas de usar algunos de sus recursos con objeto de producir diferentes productos elaborados. Recursos tales como materias primas disponibles, planta industrial, maquinaria y mano de obra podrían destinarse a la producción de varios artículos diferentes y la compañía puede elegir como producir cada uno de ellos.

Ejemplo: una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la ecuación x2+y2+40x+30y=975. Dibuje la curva de transformación del producto de empresa.

Solución: la ecuación dada tiene la forma general de la ecuación x²+y²-2hx-2kh+(h²+k²-r²)=0. Por ende su gráfica es un circulo los coeficientes son B=40, C=30 y D=975.

Las coordenadas del centro del círculo son:

h= -B/2= -40/2= -20   y   k= -C/2= -30/2= -15  de modo que el centro está en el punto (-20, -15)

El radio es: r= ½ √B²+C²-4D = ½ √(40)²+(30)²-4(-975)= 40

Función valor absoluto.
Si x es un número real el valor absoluto de x inclinado por │x│se define como:

│x│=     x       si         x≥0

             x       si         x≤0

Es claro que │x│≥0; esto es, el valor absoluto de un número real siempre es no negativo.

Llamaremos a f(x)= │x│la función valor absoluto. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de todos los reales no negativos.

Determine el dominio de las siguientes funciones y bosqueje su gráfica.

2. f(x)=2-√9-x²

(3-x)(3+x)≥0

(3-x)≥0 y (3+x)≥0

3-x≥0   y  x≥-3

3≥x     y   -3≤x          Df=xЄR/xЄ[-3,3] 

6. f(x)= -3/x-2

 Df= {xЄR/x≠2}

12.f(x)=-│x-2│

Df={xЄR/x=R}

14.f(x)=2-x/│x-2│

Df={xЄR/x≠2}

Df={xЄR/x=R}

Encuentre la ecuación de cada círculo.

18. Centro (-3,0) r=4

(x-(-3))²+(y-0)²=4²

(x+3)²+(y-0)²=16

X²+6x+9+y²=16

X²+y²+6x+9-16=0

X²+y²+6x-7=0

22. Centro (2,2) r=2

(x-2)²+(y-2)²=2²

 (x²-4x+4)+ (y²-4y+4)=4

X2+y²-4x-4y+8-4=0

X2+y²-4x-4y+4=0

Determina si la ecuación representa un círculo.

26. x2+y2+3x-5y+1=0

h=-3/2= -1.5

k= -(-5)/2= 2.5          centro (-1.5, 2.5)

r= 1/2√(3)2+(-5)2-4(1)

r= 1/2√9+25-4

r= 1/2√30

r=1/2(5.48)

r=2.74

28. 3x²+3y²-2x+4y-11/9=0

h= 2/2=1

k=-4/2=-2                 centro (1,-2)

r=1/2√(-2)²(4)²-1.2

r=1/2√4+16-1.2

r=√3.8

r=1.94

32. El propietario de un huerto puede producir manzanas para mesa o manzanas destinadas a la fermentación… las cantidades posibles x de manzanas para mesa (en kg) y y de sidra (en litros) están relacionadas por la ecuación x²+y²+8x+250y=6859

h=-8/2=-4

k=-250/2=-125

r=√k²+h²-D

r=√(-125)²+(-4)²+6859

r=√15625+16+6859

r=√22500

r=150

C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 197-205.

Clase 3 27/08/12

Una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax²+bx+c (a≠0). Con a, b y c constantes. El dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales. La función cuadrática más simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en cuyo caso obtendremos f(x)=ax².

Vértice es el punto de intersección de la parábola con el eje de geometría. Su abcisa la encontramos con el eje de geometría y la ordenada con el valor de la función en dicha abscisa en formula.

V=(-b/2a ; f (-b/2a))

Determinar el vértice

4. y=x²-3x-3                                      

X= -b/2a = -(-3)/2(1)= 3/2= 1.5

Y= 1.5²-3(1.5)-3

   =2.25-4.5-3

   =-5.25                                               v= (1.5, -5.25)

10. y=4x²+16x+4

X=-1/2(3)=-1/6=-.16

Y=3(-.16)2+ (-.16)-1

  =3(.0256)-.16-1

  =.0768-1.16

  =-1.0832                                           v= (-.16, -1.083)

16. La utilidad P(x) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por: P(x)=60x-x². Determina el número de unidades que deben producirse y venderse con objeto de maximizar la utilidad. ¿Cuál es esta utilidad máxima?

 P(x)=60x-x²

P(x)= 60-2x=0                                   x=60/2=30

P (30)=60(30)-30² =1800-900=900                            Unidades   30

                                                                                   Utilidad    900

19. Un granjero tiene 500 yardas de cerca con la cual delimitará un corral rectangular. ¿Cuál es el área máxima que puede cercar?

15625 yardas

                   b                                  ab=área               2ª+2b=500                         a=500-2b/2

a

 b (500-2b/2) = área

500b-2b²/2= área

250b-b2= f(b)

f(b)= 250-2b

b=-250/2(1)= 125

500-2(125)/2= 500-250/2= 250/2= 125

(125)2=  15,625  

23. Si un editor fija el precio de un libro en $20 c/u, venderá 10,000 ejemplares. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventajas bajan en 400 copias. ¿Qué precio debería fijar a cada libro de modo que el ingreso sea máximo? ¿Cuál es el valor de este ingreso máximo?

(x+20)(10,000-400x)                                                                     $2.5,   $202, 500

10,000x-400x²+200,000-800x

-400x²+2,000x+200,000

b/2a = 2000/2(400) =2000/800= 2.5

-400(2.5)2+2000(2.5)+200 000

-2500+5000+200 000= 202 500 

http://www.roberprof.com/2011/03/09/funcion-cuadratica-elementos/

C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 191-192.