Clase 22 28/11/12

Aplicaciones de máximos y mínimos

Clade 21 26/11/12

Bosquejo de curvas polinomiales

Paso 1. Calcule f´(x)

            Determine los intervalos en que f´(x) es positiva o negativa; estos dan los intervalos en que f(x) crece o decrece, respectivamente. Calcule las coordenadas de los puntos que dividen estos intervalos.

Paso2. Calcule f´´(x)

            Determine los intervalos en que f´´(x) es positiva o negativa; estos dan los intervalos en que f(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Calcule las coordenadas de los puntos que separan estos intervalos.

Paso 3. Combine

            Combine la información de los pasos 1 y 2 como se muestra en la figura

Paso 4. Encuentre algunos puntos explícitos

            Por ejemplo, la intersección con el eje y se obtiene haciendo x=0, de modo que y=f(0). La intersección con el eje x se obtiene haciendo y=0. Esto da la ecuación f(x)=0 que debe resolverse para los valores de x en los puntos de intersección.

Ejemplos y ejercicios 

Clase 20 21/11/12

Prueba de la segunda derivada

Sea f(x) dos veces diferenciable en el punto crítico x=c entonces:

a)  x=c  es un máximo local de f siempre que f´(c)=0 y f´´(x)<0

b) x=c  es un mínimo local de f siempre que f´(c)=0 y f´´(x)>0

Ejercicios

Clase 19 14/11/12

Segunda derivada y la concavidad

Definición:

Si f´´(x)>0 en algún intervalo entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba, en ese intervalo.

Si f´´(x)<0 la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Punto de inflexión

Un punto de inflexión de una curva es un punto en donde la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.

Ejemplo: determine los puntos de inflexión de y=x ^1/3

Ejercicios

Clase 18 12/11/12

Teorema 1. Prueba de la primera derivada

Sea x=c un punto crítico de la función f entonces

a)  Si  f´(x)>0  para x justo antes de c y f´(x)<0 justo después de c entonces c es un máximo local de f.

b)  Si  f´(x)<0  para x justo antes de c y f´(x)>0 justo después de c entonces c es un mínimo local de f.

c) Si  f´(x) tiene el mismo signo para x justo antes de c y para x justo después de c entonces c no es un extremo local de f.

Ejercicios 

Clase 17 08/11/2012

Máximos y mínimos

Una función f(x) se dice que tiene un máximo local si f(c) >f(x) para toda x suficientemente cerca de c

Una función f(x) se dice que tiene un mínimo local en x=c si f(c)< f(x)

El término extremo se utiliza para denotar a un máximo local o bien a  un mínimo local.

Definición.

El valor x=c se denomina punto crítico para una función continua f si f(x) esta bien definida y si, o bien f´(c)=0 o f´(x) no existe en x=c.

Clase 16 31/10/2012

Primera derivada y la gráfica de la función

Una función y=f(x) se dice que es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si y crece al incrementarse la x. Esto es, si x₁ y x₂ son dos valores cualesquiera en el intervalo dado con x₂>x1, entonces f(x₂)>f(x₁)

Una función y=f(x) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo de valores de x si y decrece al incrementarse la x. Esto es, si x₁ y x₂ son dos valores cualesquiera en el intervalo dado con x₂<x1, entonces f(x₂)<f(x₁)

Teorema 1

* Si f(x) es una función creciente que es diferenciable entonces f´(x)≥0.

* Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable entonces f´(x)≤0.

Teorema 2

* Si f´(x)>0 para toda x en algún intervalo entonces f es una función creciente de x sobre tal intervalo.

*  Si f´(x)<0 para toda x en algún intervalo entonces f es una función decreciente de x sobre tal intervalo.

Ejemplo:

Encuentra los valores de x en los cuales la función f(x)=x2-2x+1 crece o decrece.

f(x)=x2-2x+1

f´(x)= 2x-2

f´(x)=0

            2x-2=0

            X=1

2x-2>0                       2x-2<00

x>1                             x<1

crece                          decrece

Ejercicios