Clase 7 24/09/12

El cálculo diferencial es el estudio de cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.

Sea x una variable con el primer valor x₁ y un segundo valor x₂. Entonces el cambio en el valor de x, que es x₂-x₁, se denomina el incremento de x y se denota por ∆x.

Usamos la letra griega ∆ (delta) para denominar un cambio o incremento de cualquier variable.

∆y=f(x+∆x)-f(x)

La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x + ∆x se define por la razón ∆y/∆x. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es

∆y/∆x= f(x+∆x)-f(x)/∆x

Ejemplo. Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le permite caer libremente bajo la fuerza de gravedad, la distancia s (en pies) recorrida en el tiempo t (en segundos) está dad por

s(t)=16t²

Determine la velocidad promedio del objeto durante los intervalos de tiempo siguientes:
(a)  El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos.
(b) El cuarto segundo (de t=3 a t=4 segundos).
(c)  El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y 3 ½ segundos.
(d)  El lapso de t a t + ∆t.

Solución. La velocidad promedio de cualquier móvil es igual a la distancia recorrida dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Durante el lapso de t a t +∆t, la distancia recorrida es el incremento ∆s, y así la velocidad promedio es la razón ∆s/∆t.
(a)  Aquí t=3 y t + ∆t= 5

∆s/∆t = s(t+∆t)-s(t)/∆t = s(5)-s(3)/5-3

         = 16(5²)-16(3²)/2 = 400-144/2 = 256/2 = 128

Por consiguiente, durante el lapso de t=3 a t=5, el móvil cae a una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/segundo.
(b)  Ahora, t= 3y t+∆t=4

∆s/∆t = s(t+∆t)-s(t)/∆t = s(4)-s(3)/ 4-3

         = 16(4²)-16(3²)/1 = 256-144 = 112

El móvil tiene una velocidad promedio de 112 pies/segundo durante el cuarto segundo de caída.
(c)  En este caso, t=3 y ∆t= 3 ½ - 3 = ½.

∆s/∆t= s(t+∆t) – s(t)/ ∆t= 16(3 ½ )² – 16(3)² / ½

        =196-144/ ½ = 52/ ½ = 104

Así pues, el móvil tiene una velocidad promedio de 104 pies/segundo durante el lapso de 3 a 3 ½ segundos.
(d)  En el caso general,

∆s/∆t= s(t+∆t) – s(t)/∆t = 16(t+∆t)² – 16²/ ∆t

        = 16 [t²+2t*∆t+(∆t)²] -16t²/ ∆t

        =32t*∆t+16(∆t)²/∆t = 32t+16∆t

La cual es la velocidad promedio durante el lapso de t a t + ∆t.

Ejercicios


C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp.449-455

http://www.prepa6.unam.mx/Colegios/Matematicas/papime/PAPIME/manuales/C%C3%A1lculo.pdf