Clase 6 19/09/12

Una función del tipo y= a^x (a>0, a ≠0) se denomina una función exponencial.

Cuando a>1, la función se conoce como una función exponencial creciente, mientras que si a<1, se llama una función exponencial decreciente.

El dominio de la función exponencial, f(x)=a^x es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de todos los números reales positivos. Así si a>0, a^x>0 para todos los valores de x, positivos, negativos y cero.

El número a que aparece en la función exponencial a^x se conoce como la basa. La base puede ser cualquier número real positivo excepto 1. Con frecuencia es útil usar como base un número irracional denotado por  e el cual está dado hasta cinco cifras decimales por e= 2.71828. La función exponencial correspondiente se denota por e^x y se denomina la función natural. Ya que e está entre 2  y 3 la gráfica de y= e^x está situada entre las gráficas de y=2x y y=3x.

Ejemplo (crecimiento poblacional). La población de cierta nación en desarrollo se determinó que está dad por medio de la fórmula

P= 15e ^0.02t

Donde t es el número de años medidos a partir de 1960. Determine la población en 1980 y la población proyectada en 2000, suponiendo que esta fórmula continúa cumpliéndose hasta entonces.

Solución.  En 1980, t=20 y así

P=15 e ^{(0.02) (20)} = 15e ^0.4 = 15(1.4918)= 22.4

De modo que en 1980, la población sería de 22.4 millones. Después de 20 años más, t=40 y así

P= 15e ^{(0.02) (40)} = 15e ^0.8 =15(2.2255)= 33.4

Por tanto en el 2000, la población proyectada será de 33.4 millones.

Ejercicios


C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 237-241