Clase 4 03/09/12

Una función potencial, de la forma f(x)=axⁿ en donde a y n son constantes distintas de 0.

n=2. En este caso f(x)= ax² y tenemos un caso especial de las funciones cuadráticas expuestas en la sección 2. La gráfica de y es y= ax² es una parábola con vértice en el origen que se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0.

n= ½. Ahora f(x)=ax^1/2=a √x la gráfica es la mitad de una parábola que se abre hacia la derecha. Si a>0 la gráfica es la mitad superior  de la parábola, mientras que si a<0 es la mitad inferior. En consecuencia la gráfica sube o baja hacia la derecha dependiendo de si a>0 o <0 el dominio de f es el conjunto de los números reales no negativos.

n= -1. En este caso f(x)= a/x. el dominio de f(x) consta de todos los números reales excepto 0. A medida que x se acerca a 0 el denominador de f(x)=a/x se hace muy pequeño de modo que f(x) tiende a ser numéricamente muy grande. Puede llegar a ser grande positivo y grande negativo dependiendo de los signos de a y de x.

n= 3. Ahora, f(x)=ax3. La grafica de f(x) es una curva cúbica. El dominio es igual al conjunto de todos los números reales.

Círculo es el conjunto de puntos que están situados a una distancia constante (llamado radio) de un punto dado (denominado centro).

Ecuación con centro en h, k: (x-h)² + (y-k)²=r

Ejemplo: determine la ecuación del circulo con centro en (2, -3) y radio 5.

Solución: aquí h=2, k=-3 y r=5. Usando la ecuación estándar de un círculo tenemos que:

(x-2)²+(y-(-3))²=5² o bien (x-2)²+(y+3)²=25

Desarrollando los cuadrados y simplificando

X2+y2-4x+6y-12=0

La ecuación (1) cuando se desarrolla y simplifica puede escribirse como:

X²+y²-2hx-2kh+(h²+k²-r²)=0

Esta es de la forma x2+y2+Bx+Cy+D=0 con B, C y D constantes dadas por B=-2h C=-2k y D=h²-k²-r².

Dada cualquier ecuación en la formula general fácilmente podemos determinar el centro y el radio del círculo que representa debido a que:

h= B/2                        y          k= -C/2

Curva de transformación de productos.

Algunas veces sucede que una empresa puede elegir entre dos o más formas de usar algunos de sus recursos con objeto de producir diferentes productos elaborados. Recursos tales como materias primas disponibles, planta industrial, maquinaria y mano de obra podrían destinarse a la producción de varios artículos diferentes y la compañía puede elegir como producir cada uno de ellos.

Ejemplo: una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la ecuación x2+y2+40x+30y=975. Dibuje la curva de transformación del producto de empresa.

Solución: la ecuación dada tiene la forma general de la ecuación x²+y²-2hx-2kh+(h²+k²-r²)=0. Por ende su gráfica es un circulo los coeficientes son B=40, C=30 y D=975.

Las coordenadas del centro del círculo son:

h= -B/2= -40/2= -20   y   k= -C/2= -30/2= -15  de modo que el centro está en el punto (-20, -15)

El radio es: r= ½ √B²+C²-4D = ½ √(40)²+(30)²-4(-975)= 40

Función valor absoluto.
Si x es un número real el valor absoluto de x inclinado por │x│se define como:

│x│=     x       si         x≥0

             x       si         x≤0

Es claro que │x│≥0; esto es, el valor absoluto de un número real siempre es no negativo.

Llamaremos a f(x)= │x│la función valor absoluto. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de todos los reales no negativos.

Determine el dominio de las siguientes funciones y bosqueje su gráfica.

2. f(x)=2-√9-x²

(3-x)(3+x)≥0

(3-x)≥0 y (3+x)≥0

3-x≥0   y  x≥-3

3≥x     y   -3≤x          Df=xЄR/xЄ[-3,3] 

6. f(x)= -3/x-2

 Df= {xЄR/x≠2}

12.f(x)=-│x-2│

Df={xЄR/x=R}

14.f(x)=2-x/│x-2│

Df={xЄR/x≠2}

Df={xЄR/x=R}

Encuentre la ecuación de cada círculo.

18. Centro (-3,0) r=4

(x-(-3))²+(y-0)²=4²

(x+3)²+(y-0)²=16

X²+6x+9+y²=16

X²+y²+6x+9-16=0

X²+y²+6x-7=0

22. Centro (2,2) r=2

(x-2)²+(y-2)²=2²

 (x²-4x+4)+ (y²-4y+4)=4

X2+y²-4x-4y+8-4=0

X2+y²-4x-4y+4=0

Determina si la ecuación representa un círculo.

26. x2+y2+3x-5y+1=0

h=-3/2= -1.5

k= -(-5)/2= 2.5          centro (-1.5, 2.5)

r= 1/2√(3)2+(-5)2-4(1)

r= 1/2√9+25-4

r= 1/2√30

r=1/2(5.48)

r=2.74

28. 3x²+3y²-2x+4y-11/9=0

h= 2/2=1

k=-4/2=-2                 centro (1,-2)

r=1/2√(-2)²(4)²-1.2

r=1/2√4+16-1.2

r=√3.8

r=1.94

32. El propietario de un huerto puede producir manzanas para mesa o manzanas destinadas a la fermentación… las cantidades posibles x de manzanas para mesa (en kg) y y de sidra (en litros) están relacionadas por la ecuación x²+y²+8x+250y=6859

h=-8/2=-4

k=-250/2=-125

r=√k²+h²-D

r=√(-125)²+(-4)²+6859

r=√15625+16+6859

r=√22500

r=150

C. Arya, Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, PEARSON EDUCACIÓN, México 2002, pp. 197-205.