Interés
compuesto
Representa
el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal
a una tasa de interés (i) durante un periodo (t) en el cual los intereses se
obtienen al final de cada periodo de inversión no se retira sino que se
reinvierte o añade al capital inicial.
Ejemplo:
considere un capital digamos $100 que se invierte a una tasa de interés fijo,
tal como 6% anual. Después de 1 año, la inversión se habrá incrementado en
valor en un 6% a $106.
Si
el interés es compuesto durante el segundo año, la suma total de $106 ganará
interés del 6%. Así que el valor de la inversión al término del 2° año constará
de $106 existentes al inicio de tal año + 6% de $106 por concepto de interés,
lo que da un valor total de 106+(0.006)(106)=(1+.006)(106)=100(1.06)2=$112.36.
Valor
futuro
Valor
después de n años =P (1+i)n i=R/100
Ejemplo.
(Inversiones) una suma de $200 se invierte en un interés compuesto anual del
5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años.
Solución.
En este caso: R=5 e i=R/100=0.005 después de n años, el valor de la inversión
es P (1+i)n=200(1.005)n
Cuando
n=10 esto es 200(1.00)10=200(1.628895)=325.78
El
valor de esta inversión por tanto es $325.78
Interés
anual capitalizable
En
algunos casos el interés es capitalizado más de una vez por año: semestral (2
veces por año), trimestral (4 veces por año), mensualmente (12 veces por año).
En estos casos el porcentaje R de la tasa de interés anual al cual por lo
regular después se denomina la tasa
nominal.
Valor
después de n periodos: P= (1+i) i=R/100
Ejemplo.
(Interés anual capitalizable mensualmente) una suma de $2000 se invierte a una
tasa de interés nominal de 9% anual capitalizable mensualmente. Calcule el
valor de la inversión después de 3 años.
Solución.
Aquí K=12, la inversión se capitaliza mensualmente y la tasa de interés en cada
capitalización es R/k= 9/12=0.75%. De modo que en cada capitalización el valor
se incrementa por un factor.
(1+i)=(1+R/100k)=(1+0.75/100)=1.0075
Durante
3 años, habrá n=3*12=36 de tales capitalizaciones de aquí que el valor será
2000(1.0075)36=2000(1.308645)=2617.29 dólares.
Tasa
de interés
i=
n √M/C -1
Tasa
efectiva
Se
define como la tasa anual que proporcionaría el mismo crecimiento si se compone
de una vez por año.
1+ief=
(1+i)k
Ejemplo.
¿Qué es mejor para un inversionista 12% compuesto mensualmente o 12.2%
compuesto trimestralmente?
Solución.
Calculamos la tasa efectiva de cada una de las inversiones para la primera i=0.01 y k=12 de modo que ief=
(1+i) k-1(1.01)12-1=0.126825
Para
la segunda i=0.0305 y k=4 de modo que ief= (1+i)k-1=(1.0305)4-1=
0.127696
La
segunda tiene una mayor tasa efectiva, por lo que es la mejor de las dos.
Crecimiento poblacional
La formula de interés compuesto se aplica a cualquier
cantidad que crece de acuerdo con un porcentaje regular cada año. Por ejemplo,
una población de tamaño inicial Po que crece a un R por ciento anual
tendrá, después de n años, un tamaño de Po (1+i)n, en
donde i=R/100.
Ejemplo. (Crecimiento de la población) la población del
planeta al inicio de 1976 era de 4 mil millones y ha crecido a un 2% anual. ¿Cuál
será la población en el año 2000, suponiendo que la tasa de interés no se
modifica?
Solución. Cuando una población crece al 2% anual, esto
significa que su tamaño en cualquier instante es 1.02 veces lo que fue un año antes.
Así, al inicio de 1977, la población era (1.02) x4 mil millones. Más aún, al
inicio de 1978, era (1.02)2x 4 mil millones. Continuamos encontrando
la población en una forma similar, multiplicando por un factor de 1.02 por cada
año que pasa. La población al inicio del año 2000, es decir, después de 24 años
será de (1.02)24 x 4mil millones= 1.608 x 4 mil millones = 6.43
millones.
Composición continua
Examinamos la composición
continua para el caso general cuando se invierte una suma P. el interés será
compuesto k veces en un año a la tasa de interés nominal anual de R por ciento.
Entonces, la tasa de interés en cada composición es R/k por ciento. En cada composición,
el valor aumenta por un factor de 1+i/k
en donde i=R/100. Después d en años, durante los cuales habrán sido kN de tales
composiciones le valor será P (1+i/k)iN
Introducimos p=k/i, o k=ip. Entonces kN=PiN y el valor después
de n años es
Para composición continua debemos hacer a k→∞;
esto significa que p=k/i también se vuelve infinitamente grande. La cantidad
dentro de los corchetes se hace cada vez más próxima a e cuando p→∞,
de modo que el valor de la inversión es
PeiN.
Así hemos demostrado que si una cantidad P se compone
de manera continua a una tasa nominal anual de R por ciento.
Ejemplo. (Inversión) una inversión de $250 se compone
de manera continua a una tasa nominal de interés anual de 7.5%. ¿Cuál será el
valor de la inversión después de 6 años?
Solución. Debemos utilizar la fórmula PeiN para
el valor después de N años. P=250, N=6 e i=7.5/100=0.075.
Por tanto iN= (0.075)(6)=0.45 y el valor es PeiN =250e0.45
dólares.
250e0.45=250(1.5683)=392.08
El valor de la inversión después de 6 años es $3925.08.
Valor presente
Supongamos que la tasa de interés que podría obtenerse
en tal inversión es igual a R por
ciento. Después de n años, la suma Q se habría incrementado a Q(1+i)n,
donde i=R/100, haciendo esto igual a P, obtenemos la ecuación
Llamamos a Q
valor presente del ingreso futuro P. en el cálculo del valor presente es
necesario hacer algunas suposiciones acerca de la tasa de interés R que se obtendría
durante los n años. En tales circunstancias, R se denomina tasa de descuento y
decimos que el ingreso futuro es descontado al tiempo presente.
Ejemplo. (Decisión de ventas en bienes raíces) un
desarrollador de bienes raíces posee una propiedad que podría venderse de
inmediato por $100,000. De manera alterna, la propiedad podría conservarse
durante 5 años. Durante este tiempo, el desarrollador gastaría $100,000 en
urbanizarla y entonces la vendería por
$300,000. Suponga que el costo de urbanización seria gastado en un fondo al
final de 3 años y debe pedirse prestado de un banco al 12% de interés anual, si
la tasa de descuento se supone que es de 10%, calcule el valor presente de esta
segunda alternativa y de aquí decida cuál de éstas dos alternativas representa la mejor estrategia para el desarrollador.
Solución. Primero considere el dinero que debe pedirse
prestado para urbanizar la propiedad. El interés debe pagarse al 12% sobre éste
durante un periodo de 2 años, de modo que cuando la propiedad se vende, este
préstamo ha aumentado a
$100,000(1.12)2=$125,440
La ganancia neta de la venta, después de pagar este préstamo
será
$300,000-$125,440=$174,560.
Este ingreso se recibe dentro de 5 años. Descontándolo
a una tasa de 10%, obtenemos el valor presente de
$174,560(1.1)-5=$108,400.
Como el valor presente de una meta inmediata es de sólo
$100,000, es un poco mejor si el desarrollador conserva la propiedad y la vende
dentro de 5 años.
Tu Información Todo esta muy Bien Concreta Bien Derractada Y Tu Diseño Muy Bien
ResponderEliminarEsta bien apto para poder entender
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